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程序員面試筆記--C/C++、算法、數據結構篇

為了解決整數 四則 運算 英文的問題，作者楊峰等 這樣論述：

本書是為了滿足廣大應聘IT崗位的畢業生及社招人士復習所學知識，提高職場競爭力而編寫的。書中涵蓋了C/C++程序員面試所需掌握的全部知識點，內容涉及C/C++基礎、面向對象、字符串、數據結構、算法設計、操作系統、數據庫、計算機網絡以及綜合能力測試題等面試中經常出現的知識點。與此同時，本書還包含了相當篇幅的面試技巧介紹，並精心搜集了面試官常問的20個問題和外企常考的20道英文面試題，幫助求職者在面試過程中展現自身技術硬實力的同時更能充分發揮自身素質和個人魅力等軟實力。本書不只是一部「習題集」，在每節中都對本節所涉及的知識點進行了完整的梳理，這樣不僅可以幫讀者夯實專業基礎，從根本上掌握程序員筆試面試

的要領，也為未來的工作打下了堅實的基礎。本書采用筆記體裁方式編寫，核心內容用紅色高亮標注，重點問題和知識點加批注注釋，使讀者在閱讀此書時易於上手，掌握關鍵信息，提高學習效率。為了更好地幫助讀者備戰筆試面試，本書還對每一節中的知識點梳理以及一些比較有代表性的題目進行了視頻講解，使讀者學習起來更加靈活有趣，知識掌握得也更加牢固。本書涵蓋了各大公司近年來C/C++筆試面試真題，具有性，在講解上力求深入淺出，循序漸進，並配以插圖解說，使讀者能夠學得懂，記得牢，願意學，幫助讀者更好地進行求職准備。本書是一本計算機相關專業畢業生以及社招人員筆試、面試求職參考書，同時也可作為有志於從事IT行業的計算機愛好者

閱讀使用。 楊峰，工學碩士，高級工程師，就職於知名IT公司8年，先后參與多個大型項目開發。熱衷於計算機書籍及科普書籍的寫作，曾先后出版《C語言完全手冊》《妙趣橫生的算法》《生活中的數學》等多本著作。 如何使用本書前言第一部分 求職攻略技巧篇第1章 凡事預則立，不預則廢——求職准備11擺脫就業「恐懼症」12深度剖析自己，找准定位——切忌好高騖遠，眼高手低13制訂一個詳細的求職計划14你應該知道的求職渠道15認識招聘的流程第2章 打造你的個人名片——簡歷技巧21個人簡歷的書寫要領及注意事項22英文簡歷23簡歷模板參考第3章 下筆如有神的秘籍——筆試技巧31筆試是場持久戰32夯實

基礎才是王道33臨陣磨槍，不快也光34練習一點智力題35重視英語筆試和專業詞匯36建立自己的筆試資料庫第4章 征服面試官的絕招——面試技巧41面試着裝的技巧42不打無准備之仗——事先准備可能的提問43切記！第一輪面試仍是「技術面」44重視英語口語45細節決定成敗第5章 魚和熊掌如何取舍——Offer選擇技巧51選擇Offer的大原則——方向第一，賺錢第二52選擇最適合自己的53戶口和收入哪個更重要第6章 我的未來我做主——職業生涯規划61Y型發展軌跡62融入企業文化63關於跳槽第7章 運籌帷幄，決勝千里——面試官常問的20個問題71談談你的家庭情況72你有什麼愛好和興趣73你自己的優點是什麼7

4你自己的缺點是什麼75談談最令你有成就感的一件事76談談你最近的一次失敗的經歷77你做過什麼項目78你有多少代碼量79請描述一下你對我們公司的理解710談一下最近5年內的職業規划711你覺得工作之后最大的挑戰是什麼712你對出差和外派的看法是什麼713你對加班的看法是什麼714你對跳槽的看法是什麼715你如何理解你應聘的職位716工作中遇到壓力你如何緩解717如何看待程序員40歲以后編不動代碼718在工作中有沒有經歷過和他人意見不合的時候？你是怎麼處理的719你平時都采取什麼樣的學習方式720你還有什麼需要了解的問題第8章 知己知彼、百戰不殆——外企常考的20道英文面試題81Please t

ell me something aboutyourself?82What experience do you have inthis field?83What is your dream job?84Why should we hire you?85What are you looking for ina job?86Are you willing to workovertime?87What is your greatestweakness?88What are your strengths?89Why did you quit yourlast job?810Why do you wan

t to work in ourcompany?811What kind of salary are youlooking for?812What do co-workers say aboutyou?813What were some of yourachievements at your lastjob?814Tell me about your ability to workunder pressure?815What have you learned frommistakes on the job?816Where do you see yourself in 5years?817Ho

w long would you expect to workfor us if hired?818What do you want to know aboutour company?819Tell me about a suggestion youhave made?820What motivates you to do yourbest on the job?第9章 IQ加油站——綜合能力測試題91數學類型的測試題【面試題1】兔子賽跑【面試題2】女裝的成本【面試題3】徘徊的小鳥飛了多少米【面試題4】電視機的價值【面試題5】被污染的藥丸【面試題6】取水問題【面試題7】院牆外的相遇【面試題8】

牛吃草問題92邏輯類型的測試題【面試題1】哪位教授與會【面試題2】誰是罪犯【面試題3】王教授的生日【面試題4】是誰闖的禍【面試題5】會哪國語言【面試題6】如何拿水果【面試題7】海盜分贓【面試題8】小鎮上的四個朋友【面試題9】說謊島第二部分 面試筆試技術篇第10章 C++程序設計基礎101程序的編譯和執行1011知識點梳理1012經典面試題解析【面試題1】簡述#include＜＞和#include””的區別【面試題2】簡述#與##在define中的作用【面試題3】簡述assert斷言的概念102變量1021知識點梳理1022經典面試題解析【面試題1】簡述i++和++i的區別【面試題2】簡述C++

的類型轉換操作符【面試題3】簡述靜態全局變量的概念103條件語句和循環語句1031知識點梳理1032經典面試題解析【面試題1】不使用break的switch語句【面試題2】for循環的三要素【面試題3】巧打乘法口訣表104宏定義和內聯1041知識點梳理1042經典面試題解析【面試題1】簡述內聯函數與宏定義的區別【面試題2】宏定義的宏展開錯誤【面試題3】內聯函數的常識性問題105sizeof的使用1051知識點梳理1052經典面試題解析【面試題1】不能使用sizeof計算的表達式【面試題2】sizeof計算結構體時的內存對齊問題【面試題3】結構體嵌套時的sizeof運算106內存分配1061知識

點梳理1062經典面試題解析【面試題1】malloc和free的常識性問題【面試題2】返回一個64整數倍的內存地址【面試題3】簡述malloc/free與new/delete的區別【面試題4】簡述delete與delete［］的區別107位運算1071知識點梳理1072經典面試題解析【面試題1】不使用臨時變量交換兩個數【面試題2】計算二進制數中1的個數【面試題3】將二進制數倒數第M位的前N位取反……【面試題5】找出人群中三個單身狗中的任意一個108main函數1081知識點梳理1082經典面試題解析【面試題1】簡述main函數執行前后都發生了什麼第11章 指針和引用111指針及其應用1111知

識點梳理1112經典面試題解析【面試題1】被調函數中修改主調函數的變量【面試題2】區分指針和數組【面試題3】簡述指針和句柄的區別112指針常量與常量指針1121知識點梳理1122經典面試題解析【面試題1】指針常量和常量指針的常見錯誤【面試題2】指針常量用作函數參數【面試題3】指針常量與字符串常量的沖突113指針數組與數組指針1131知識點梳理1132經典面試題解析【面試題1】簡述數組指針與二維數組的區別【面試題2】簡述數組地址與數組首元素地址的區別【面試題3】簡述指針數組與指向指針的指針的區別114指向指針的指針1141知識點梳理1142經典面試題解析【面試題1】指針作為參數的常見錯誤【面試題

2】指向指針的指針與二維數組的區別115函數指針1151知識點梳理1152經典面試題解析【面試題1】通過函數指針實現四則運算【面試題2】簡化超長的函數指針類型116this指針1161知識點梳理1162經典面試題解析【面試題1】this指針常識性問題【面試題2】鏈式訪問對象成員【面試題3】通過空指針調用類的成員函數117空指針和野指針1171知識點梳理1172經典面試題解析【面試題1】常見的野指針【面試題2】在構造函數中釋放對象本身118引用1181知識點梳理1182經典面試題解析【面試題1】簡述指針與引用的區別【面試題2】指針和引用的使用【面試題3】使用常量初始化引用第12章 內存管理121

堆內存與棧內存1211知識點梳理1212經典面試題解析【面試題1】簡述程序中的四大存儲區【面試題2】簡述棧空間與堆空間的區別【面試題3】簡述遞歸程序潛在的風險122內存泄漏1221知識點梳理1222經典面試題解析【面試題1】預防內存泄漏的方法【面試題2】找出不易察覺的內存泄漏123內存越界1231知識點梳理1232經典面試題解析【面試題1】訪問vector元素時的越界問題【面試題2】越界操作導致程序崩潰的原理第13章 字符串131C標准字符串函數1311知識點梳理1312經典面試題解析【面試題1】字符串標准庫函數的使用1【面試題2】字符串標准庫函數的使用2【面試題3】不使用C/C++庫函數，編

程實現函數strcmp的功能【面試題4】不使用C/C++庫函數，編程實現函數strcpy的功能【面試題5】不使用C/C++庫函數，編程實現函數strstr的功能【面試題6】簡述memcpy與strcpy的區別【面試題7】程序改錯132字符串算法設計題精講【面試題1】編程實現字符串中單詞的翻轉【面試題2】編程實現字符串的循環右移【面試題3】從字符串的指定位置刪除指定長度的子串【面試題4】找出0/1字符串中0和1連續出現的最大次數【面試題5】編程查找兩個字符串中的最大公共子串【面試題6】在字符串中刪除特定字符【面試題7】字符串內容重排第14章 面向對象141面向對象的基本概念1411知識點梳理14

12經典面試題解析【面試題1】簡述面向過程和面向對象的區別【面試題2】簡述面向對象的基本特征【面試題3】簡述面向對象的設計原則142類的聲明1421知識點梳理1422經典面試題解析【面試題1】簡述類和結構體的區別【面試題2】類中的靜態數據成員與靜態成員函數【面試題3】簡述const修飾符在類中的用法【面試題4】簡述友元函數和友元類的概念143構造函數和析構函數1431知識點梳理1432經典面試題解析【面試題1】構造函數中的常見錯誤【面試題2】構造函數和析構函數的執行順序【面試題3】實現一個最基本的String類144函數重載1441知識點梳理1442經典面試題解析【面試題1】C語言不支持函數重

載的原因【面試題2】識別真假函數重載【面試題3】簡述函數重載與函數覆蓋的區別【面試題4】容易忽視的名字隱藏問題145運算符重載1451知識點梳理1452經典面試題解析【面試題1】運算符重載的常識性問題【面試題2】重載前自增運算符和后自增運算符【面試題3】通過運算符重載實現復數加減146繼承1461知識點梳理1462經典面試題解析【面試題1】簡述繼承與組合的區別【面試題2】簡述公有繼承、私有繼承和保護繼承的區別【面試題3】父類構造函數與子類構造函數的關系147虛繼承1471知識點梳理1472經典面試題解析【面試題1】虛繼承中的構造函數的調用【面試題2】計算虛繼承中對象占用的空間148多態與虛函數

1481知識點梳理1482經典面試題解析【面試題1】虛函數的常識性問題【面試題2】簡述虛函數表的概念【面試題3】通過虛函數實現各種圖形計算的多態性第15章 模板與泛型編程151模板1511知識點

1, 2, 3和＋－×÷的數學旅行：數字的命名、運算的誕生、原理的發展，25段抽絲剝繭的數學探索

為了解決整數 四則 運算 英文的問題，作者大衛．伯林斯基 這樣論述：

　　◆臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生老師 專文導讀　　◆《微積分之旅》（A Tour of the Calculus）暢銷作家伯林斯基又一力作　　◆《紐約時報》暢銷書《醉漢走路》（The Drunkard' s Walk）作者曼羅迪諾 　　（Leonard Mlodinow）強力推薦──給讀者和求知若渴者的禮物！ 　　1, 2, 3 ……數字如何命名出來的？＋－×÷ ……四則運算怎麼誕生的？數的創造，便是事物的創造！ 　　數字形成我們的宇宙的基礎，而我們多數人從未真正了解它的意義。 　　我們將數字視為理所當然，毫不質疑地做著加減乘除的運算，彷彿數學與生俱來就是如此運作。 　　研究數學，耐心

是必備條件，樂趣卻不會那麼快出現。　　小數點似乎會遊走，負數變成正數，分數還會突然上下倒轉過來。　　沒有人非常喜歡這門學科，但它擁有令人著迷的力量。 　　數學大師最嚴謹的推理、最深刻的哲思，揭示美麗的數學原理背後精采絕倫的故事！ ◎深入最基本的概念，一窺數學誕生的奧祕 　　數學家向來設想數學就像一個城市，城市天際線矗立著三座雄偉的高塔。這三座雄偉的建物分別致力於「幾何」、「分析」和「代數」，探究的對象各是空間、時間及符號和結構。本書訴說的正是這個數學城市的故事，主人翁是自然數、0、負數和分數。 　　文筆如詩的數學家伯林斯基在這部最新力作中，選擇了最基礎的問題：數字是什麼？加減乘除究竟是怎麼運作

的？幾何和邏輯又是什麼？伯林斯基致力發掘看似單純的問題下的數學之美和複雜性，以淺顯的方式說明這些多變又難以掌握的概念。 　　本書帶領我們深入最基本的數學世界，揭露隱藏的奧妙。書中呈現許多歷史軼事，旁及各時代最著名的數學家，引領讀者一窺數學誕生的奧祕，刻畫為數學帶來獻禮的人物，並探索數學對我們為何如此重要。 ◎數學家的25個禮物，尋找最簡單的數學之美 　　1. 一隻羊、兩隻羊、三隻羊……自然數的創造與數羊有什麼關係？　　2. 數字與它們的名字是不同的概念……連數學家也常弄錯這件事？！　　3. 數是萬物的最根本？……誰說的？為什麼？　　4. 你根本不知道你以為自己知道的事……數學可以為我們確定任何

事嗎？　　5. 邏輯比數學更冷酷……阿伯拉與哀綠綺思的愛情為我們上了數學課？　　6. 公理系統如同哥德式大教堂……數學家也會說「不怕一萬，只怕萬一」？　　7. 小的數、大的數、不受拘束的數……打倒歐幾里得！　　8. 加法有奇特的情感吸引力……十字記號在數學中究竟有什麼特殊意義？　　9. 我來了、我看見、我征服……凱撒的這句名言竟為我們說明了加法的定義？　　10. 指數恆等式可以推進科學革命……它前所未聞的強大力量從何而來？　　11. 數字是怎麼命名的？……原來我們小時候就學過「自然數大字典」？　　12. 函數是一種信仰……阿拉伯的勞倫斯為什麼因為數學被當成瘋子？　　13. 19世紀初劍橋或牛津

什麼都不好……最偉大的英國數學家？沒有！　　14. 如果發現算術定律的數學家也是律師……五位實力堅強的選手上陣！　　15. 數有太多而我們的時間太少……歸納法說來簡單卻理解難！　　16. 在枯燥的細節中體會隱含的熱情……數學音樂劇的悲劇女主角是誰？　　17. 真相惡名昭彰且不容懷疑……加法結合律的證明一樣如此理所當然嗎？　　18. 0的另一邊給人朝黑暗沉淪的寒顫感……負數為什麼讓人覺得不舒服？　　19. 沒有減法就沒有對稱……減法如何展現驚人的力量？　　20. 算術的記號是缺乏意義還是有無數可能的詮釋……數學家會提出解答嗎？　　21. 一樁訴訟案解釋了數學的抽象概念……法律如何讓我們更了解數學

？　　22. 負數乘負數是正數……那些通常嚴格的公理究竟如何操縱神奇的力量？　　23. 萊茵德紙草書記錄方程式的語言形式……數學家為何對方程式著迷不已？　　24. 分數沒有極限而分割也沒有終結……麵包也可以讓我們學數學？！　　25. 沒有其他東西需要證明了……數學書的結尾就像推理小說？ 作者簡介 大衛．伯林斯基（David Berlinski） 　　哥倫比亞大學學士，普林斯頓大學博士。著名數學家，暢銷作家，也是深具影響力的思想家。曾在美國和法國多所大學教授數學與哲學。 　　著作甚豐，包括《微積分之旅》（A Tour of the Calculus）、《牛頓的禮物》（Newton's Gift）

、《演算法的誕生》（The Advent of the Algorithm）、《微分拓樸學的起源》（The Rise of Differential Topology）等書。現居巴黎。 譯者簡介 甘錫安 　　學業結束後由科學界踏入「譯文界」，現為專職譯者。曾擔任Discovery頻道與資訊雜誌編譯，現仍定期為《科學人》及《BBC知識》等雜誌翻譯。書籍譯作包括《愛因斯坦1905》、《攝影師之心》、《圖解達文西機器人》、《樂觀是一種選擇》等。 　　目前住在有山有海有美食的台灣頭基隆，熱愛吸收各類知識，正努力朝「全方位譯人」的目標邁進。最大的心願是知識普及、人人快樂。 1. 一隻羊、兩隻羊、三隻羊

。成群的羊毛堆…… 2. 亨利有六個老婆，但「Henry」這個英文字有五個字母。數字與它們的名字是兩個不同的概念。如果無法區別兩者，就無法了解數字如何被命名，也就不可能了解位置記數法（positional notation）的久遠歷史和文明藝術。 3. 喜歡追根究底並非物理學家獨有的特性。如果存在有比數更根本的事物，為何我們必須認為數是萬物的最根本？究竟為什麼？ 4. 人類知識極不穩定。我們彼此之間只是陌生人，甚至我們也不認識自己。當我告訴你說，你根本不知道你以為自己知道的事情，其實我的意思是，你根本就不知道。 5. 數學是冷酷的大師，而邏輯更加冷酷。這是普遍的認知，不過也離事實不遠。 6.

公理系統的概念是數學體系的核心，如同哥德式大教堂代表了中世紀建築風格。數學家汲汲追求的是形式。 7. 皮亞諾公理是極大的成就，因為它們將自然數納入公理系統；而它們的蘊涵也很深遠，因為它們賦予了後繼這個概念重要性。 8. 加法是「超基礎數學」的四種運算之一。其他運算包括乘法、減法和除法。每一種運算都是用兩個數產生第三個數。有2，還有3——這是兩個數，然後有2+3，於是有了第三個數：5。 9. 「加法的定義」這個詞似乎意味著歷經好幾世紀的努力，當代數學家現在終於能夠徹底說清楚加法的含意。但其實並非如此。 10. 古代商人發現了將數相加的方法，當然也知道如何把數相乘。他們運用的技巧是蘇美帝國抄寫技藝

的一部分。 11. 位置記數法是數的命名原則，但到目前為止，這種方法只限於以兩個名字指涉的數，例如27或32，也就是形式為ab的數。 12.勞倫斯（T. E. Lawrence）為道堤（Charles M. Doughty）的《阿拉伯沙漠旅行記》（Travels in Arabia Deserta）寫序時，在文中試圖描述他和道堤都很稱道的沙漠阿拉伯人的性格。「這個民族絲毫不令人厭惡。」勞倫斯寫道：「他們毫不質疑地接受生命這個禮物，將它當成公理。」 13. 19世紀初，劍橋或牛津什麼都不好。 14. 算術定律。這個措辭本來就古怪，再加上發現這個定律的數學家是律師，顯得更為古怪了。 15. 定義遞

降帶來一個問題：文字遊戲如何含括無限運算？數學家可以借助遞迴定理，令人信服地表示一切沒問題。 16. 在這些枯燥乏味的細節中，不妨體會一下它們隱含的熱情，以及它們引發的戲劇性事件。 17. 加法的結合律指出，對每一個數z和任兩個特定數a和b，a + (b + z) = (a + b) + z。如果它的意義就是如此，下面提出證明。 18. 自然數就是自然數；0就是0。它們的存在難以捉摸，也沒有形狀。 19. 加法是把數加入數；減法是由數取出數。取走抵消加入。 20. 某些數學家擁有它──我說的是那種「悸動」。他們感覺到有什麼東西就要出現了。 21. 群在「超基礎數學」中占有一席之地；但真正獲得注

意和受到熱愛的是環。 22. 負數最讓人傷腦筋的一件事，就是符號律。負2加負2是負4；負2乘負2卻是正4。兩個結果的數字部分都是4，但前面掛著不同的符號。 23. 「萊茵德紙草書」（Rhind payrus）是一張羊皮紙，1858年由萊茵德在埃及的路克索（Luxor）遭到非法挖掘出土。其後在貪污官員間轉手數次，之後因為一次大規模的皇室貪污案爆發，最終由大英博物館收藏。 24. 相信半條麵包比沒有還好的人，不會對1/2這個數感到不安。 25. 加法、乘法和減法在數學生命中一直是強大的創造力。 推薦序 　　就數學普及書寫而言，本書主題近於大學數學系的傳統課程「數學基礎」（foundations

of mathematics），是相當罕見且具膽識的選擇。顧名思義，數學基礎探討最基本的數學知識（如自然數概念等）的本質，尤其為什麼它具有確定性（certainty）。這或許可以解釋何以作者提出他所謂的「超基礎數學」（absolutely elementary mathematics）。 　　由於本書說理與敘事兼備，儘管前者是重頭戲，不過，有時候為了讓讀者暫時擺脫邏輯的必然性「壓力」，作者會在適當時機提供敘事（narrative）。因此，除了在相關脈絡中引進數學家的故事或文學性作品之外，作者也運用了許多比喻（metaphor），讓讀者對於他的說理有了更溫潤的理解可能。 　　一般來說，具有數學洞

察力與寫作才華的數學家書寫普及作品時，都很喜歡針對數學世界進行比喻，以便強化他們的敘事與說明。他們除了模仿啟蒙運動思想家將數學知識比喻成一棵大樹之外，像史都華（Ian Steward）就將數學比喻成為一座風景區，如此一來，他就可以搖身一變為風景區的導覽志工。至於本書作者則「設想數學就像一個城市，城市天際線矗立著三座雄偉的高塔。這三座雄偉的建物分別致力於『幾何』、『分析』和『代數』，探究的對象各是空間、時間及符號和結構」。在這樣的藍圖中，作者希望他所陪伴的主人翁自然數、0、負數和分數，可以為我們訴說這座數學城市的故事。 　　不過，本書最精采的比喻，則是在第21堂課中，將環（ring）的三重抽象概

念類比到法律上的契約的三種內涵。對比威利斯頓（Williston）的《契約》（Contracts），作者指出：在數學這一邊，首先的要求是數學家（以及讀者）願意接受任何公理集合所強制的壓縮；其次，數學家（以及讀者）願意把眼光放遠，不只局限在那些一開始會慫恿我們接受公理的主題身上；最後，願意在公理系統中找出完全由公理創造的事物。而在法律這一邊，則威利斯頓注意到「法律將履行契約視為義務」；其次，法官或陪審團著手了解某些雙邊協議中有足以使協議變成契約的承諾屬性；最後，願意了解契約法所說的契約是什麼。由於數學知識的確定性來自邏輯的「必然性」，因此，作者顯然企圖呼應契約中的某種法律「強制性」。 　　基於此

一數學 vs. 法學之比喻，我們很容易可以猜測本書在數學論證方面的講究。現在，讓我簡介本書內容，或許讀者可以據以體會作者的用心。 　　本書共有二十五堂課，其中第5、13、16課分別以整課的篇幅，介紹三位數學家（阿伯拉、迪摩根和索菲雅．卡巴列夫斯基）的故事，其餘二十二課內容，就圍繞在自然數、0、負數與分數之概念及其運算所產生的抽象數學結構上。第1-3課主題是自然數與0的命名及位置記數法，其中並提及如何利用集合來定義自然數。在第4課中，作者介紹邏輯學中有關推論形式之意義，特別是與自然數的連結。第6-7課主題是公理系統與皮亞諾公理（Peano’s Axiom）。第8-9課主要解釋加法的定義。第10課

主題是乘法的定義，而進一步延伸的，是第11課的基底以及位置記數法。第12課主題是遞迴定理（recursion theorem），其中作者也特別說明它與相關定義法（method of definition）之連結。在第14課中，作者介紹五個算術定律：結合律、交換律、（乘法對加法的）分配律、三一律以及消去律，並且預示運算決定了數系結構之事實。在第15課中，作者說明數學歸納法原理（principle of mathematical induction）與良序原理（well-ordering principle）之關聯。 　　限於篇幅，我上述這些流水帳式的簡介，看來相當「枯燥乏味」，儘管原書中還是有許

多頗為精巧的論證。無論如何，作者顯然覺得此時必須來個「中場休息」，這應該是他在第16課介紹偉大女數學家索菲雅．卡巴列夫斯基（Sofya Kovalevsky）的故事，「不妨體會一下它們隱含的熱情，以及它們引發的戲劇性事件」。 　　在第17課中，作者演示數學歸納法，以證明加法的結合律。第18課介紹0與負數，其中罕見地提及負數在複式簿記制度中相當好用。第19課主題是整數系。在第20課中，作者引述新代數做為一種符號的科學（science of signs），以及偉大（女）數學家諾特（Emmy Nother）對現代抽象代數的偉大貢獻。由於諾特的貢獻之一是環（ring），因此，作者緊接著在第21課中，介

紹此一抽象代數之結構。然後，在此一關聯中，作者在下一章（第22章）提供「負負得正」之證明。在第23課中，作者從《萊茵德紙草書》談到方程式求解，最終目的是討論多項式（可構成一個環）的角色。第24課主題是除法與分數，並進一步討論分數與小數的表徵形式。第25課的主題是數體（number field），作者引進這些抽象結構，完全基於它們的圓滿自足：「體的定義……本身只告訴我們，數學和『超基礎數學』需要人類心智投注所有力量，創造抽象概念，並且相信這些概念」。最後，在結語中，作者引用《蘇丹在後宮》這一幅畫，來強調數學的本質是關乎「自然生成與人為創造的兩種事物，滿足地彼此共存」。 　　就訴求目標讀者來說，本

書可以跟《社會組也學得好的數學十堂課》（杰瑞．金著，商周出版，2010）做一個對比。後者顯然針對非科學主修大學生的數學通識課程。作者杰瑞．金（Jerry King）使用了數學 vs. 詩篇的類比，強調即使是人文社會科學主修的學生，也可以學好數學。如果一般人可以被詩篇所感動，那麼，他們又何嘗無緣參與數學知識活動呢？杰瑞．金認為基本的邏輯推理訓練、集合論、從自然數經整數、有理數、實數到複數的數系發展、數論、函數（含解析幾何）、機率論以及微積分等等，都是不可或缺的主題。同時，他又高度重視數學知識的結構面向，譬如從自然數系到微積分的縱深統整論述，就明確地演示數學的意義與價值不僅在於它的廣泛應用，而且也

關乎它自身的真與美。 　　相對而言，本書也極端重視論證，不過，作者在求「真」方面顯得更加堅持，為此，他認為應該深入公理系統的設置底層，探索比如算術加法與乘法的結合律（associative law）與遞迴（recursion）的本質關係。另一方面，他的「求真」也相當「純粹」，比如當他運用一列骨牌比喻數學歸納法：「若（if）第一張骨牌倒下，且若（if）推倒任一張骨牌即可再（then）推倒下一張，則（then）所有骨牌必定倒下。」緊接著，他表達了「以物理方式類比數學運算時的必然限制」：「我經常想著，這個說法（按即骨牌比喻）在物理學上是否成立。動量在任一骨牌長龍中傳遞，而這意味著骨牌可能會持續倒下；

但動量在任一骨牌長龍中同樣必會衰滅，而這意味著骨牌長龍延伸到外太空時，它呈現的波浪會逐漸減慢，最終會停頓下來，直到還有很多很多張骨牌直立著。」還有，基於這種比喻，本書內容幾乎不涉及數學應用例證，一點都不令人感到意外。 　　上述有關本書這些風貌，都可以解釋作者的敘事手法。由於本書強調數學基礎之論證，因此，在考量到讀者的耐心時，他隨時地「岔入」數學或數學家的故事。在本書中，作者所介紹的數學家（從古代到20世紀中期）就將近二十位之多，而且大都簡述他（她）們的故事傳奇。此外，他也經常引述一些文學作品，以便「淡定」陷入基礎深淵的數學熱情。 　　總之，這是一本相當另類的數學普及小品。一般讀者初次接觸本書不

免覺得論證「超量」，但平心而論，讀者若懷抱一點點耐心，順著這些材料讀下去，也並非難以理解。數學知識中有許多基本但極為深刻的內容，譬如自然數如何定義？中學階段所學習的數學歸納法有何意義？所謂的遞迴定理與我們所理解的數學基本概念又有何關聯？還有，數學運算如何決定結構？等等，都在本書中有了簡易可及的切入點。無論如何，本書的訴求呼應了通識教育中非常古典的心智訓練，讀者若有機會隨性地讀個幾章（順序無妨），一定可以變得比較博雅才是。至於中小學數學教師呢，本書至少可以提醒：那五個算術定律為何那麼重要了。 　　最後，我們必須指出本書的一些謬誤與商榷，供讀者參考。 　　有關基數（cardinal number）

問題。頁22提及「沒有自然數，我們無法計數，也就無法回答『有多少？』這個問題」。這一句論斷值得商榷，因為在「數不過三」（亦即：只能數一、二、很多很多）的民族部落中，還是有能力運用一一對應關係（one-to-one correspondence），確認他的二十頭羊是否走失。 　　頁151：有關骨牌比喻數學歸納法之說明中，原文「直到僅餘一個骨牌直立著」應該修訂為「直到還有很多很多張骨牌直立著」，才比較「正確」與達意。 　　在頁196，作者提及群論（group theory）是在伽羅瓦（Evariste Galois）決鬥身亡前一天晚上寫成的作品中達到完善。又，在頁236，作者再次強調：「在決鬥身亡

的前一天晚上，二十歲的伽羅瓦盡情發揮才能，重新檢視多項式方程式的根，首次發現了對稱性約束系統，這個系統可以決定哪些方程式可解、哪些不可解。」有關此一敘事不符合史實，數學史家早已貼心糾正，可惜，作者可能還是參考始作俑者的貝爾（E. T. Bell）的《大數學家》（Men of Mathematics）。事實上，在決鬥前夕，伽羅瓦寫信給他的好友，交代後者要幫忙珍惜他自認為畢生最偉大的數學貢獻，而那是他已發表的論文結果，因為他說：「我的命運已經無法讓祖國及時認識我的貢獻。」 洪萬生（本文作者為臺灣師範大學數學系退休教授） 1一隻羊、兩隻羊、三隻羊。成群的羊毛堆……數自然數1、2、3……在我

們的日常事務中扮演了雙重角色。沒有這些自然數，我們無法計數，也就無法回答有多少？這個問題。一個人如果無法說出他看到一隻羊還是兩隻羊，表示他沒辦法辨識羊。他看到的只是一大堆在走動的羊毛。有了自然數，他就不會再「目中無羊」。12世紀時夏爾特的希瑞（Thierry of Chartres）曾說道：「數的創造，事物的創造。」計數讓事物具備自己的身分（identity），同時賦予事物差異性。三隻羊代表三個事物。自然數體現了區別性和獨特性。畢竟，1與2之間什麼都沒有，而不同的事物無論在各個方面有多麼相似，彼此之間同樣什麼也沒有。自然數之間的離散性就像我們皮膚的表層一樣是絕對的，允許接觸，無法相互混合。當然

，世界上有些東西是無法計數的，例如泥巴。「泥巴」一詞似乎可以指涉在任何地方、以任何方式被發現的泥巴。但智性衝動讓我們總希望可以計數所有東西，所以日常英文提供了用以計數的工具，甚至可以藉由這些工具來計算泥巴數，例如一點兒泥巴、一小坨泥巴或一堆泥巴，因此可以說一點兒、兩小坨或三堆。用來計算羊隻的1、2、3，也可以用以形容泥巴多寡。自然數讓某個披著皮衣、雙頰凹陷、嘴嘟兩顆金牙的西班牙牧羊人，得以使他的羊群及乃至他的生活井然有序。這些牧羊人會說，兄弟們，第一隻是我的，第二隻是你的，第三隻是他的。抄寫技藝五千多年前，沙漠太陽初升、萬物未朽時，蘇美人就教導他們的孩子「超基礎數學」。蘇美小孩學習基礎概念；他

們的老師則已掌握精髓。他們發現這並不容易。蘇美抄寫員自小開始學習經年，以便把稅收紀錄、商業交易、法律規範、房地產交易刻寫在泥板上。他們對數學的嫻熟運用是歷史上所留下最早的相關紀錄。他們不會為覺得自己未達天職所苦。一位抄寫員寫道：「抄寫技藝是大師之父。」他補充說，僅只抄寫員本身就能「撰寫〔銘刻〕碑文；劃分田地，結清帳目」。文本中有一處空白，使敘述中斷。接著是一個前後被隔開的短句，顯示出這位抄寫員的崇高智識：……宮殿……。接近西元前2000年時，蘇美帝國逐漸沒入沙漠沙土中，最終被時間擊垮。我想隨著世局或其他某種熱烈的思潮，讓中國人習得這種嫻熟「超基礎數學」的抄寫運用，這種對象形文字的嶄新運用讓他們

沉醉，之後巴比倫人也學會了，於是在古文明各地都可看到這種數學運用。不同的社會各自以自己的方式、針對各自的目的運用「超基礎數學」。每個社會都遺漏了某些東西，而且沒有一個社會，包括我們現在的社會，知道所有的一切。局外人1823年，克羅內克（Leopold Kronecker）出生於東普魯士小鎮利格尼茨（Liegnitz）。1944年底，利格尼茨遭俄國坦克占領，現更名為萊格尼察（Legnica），位於波蘭境內。東普魯士已不復存在。你很難在照片上看清楚克羅內克的面容。刺眼的光線和延長曝光，使得臉部線條變得陰暗。剛毅的皺紋顯示出他與雪曼將軍（General William Tecumseh Sherma

n，美國南北戰爭北部聯邦軍將領）之間未被承認的血緣關係。兩人都是高額，近乎平頭的短髮；眼窩深凹，眼神陰鬱。從所有這些特徵看來，克羅內克無疑是純正的普魯士人，低調自制，但他的鼻子卻清楚明白地展現出超群不凡的一面，驕傲地在兩頰之間挺立著，再彎向凹溝狀的鼻尖。我這樣描述不是為了嘲笑別人的鼻子，畢竟我自己也有個讓我原形畢露的鼻子，而是為了說明克羅內克有本事一方面表現得特立獨行，同時又能與其他數學家融合。克羅內克是思想史上的稀有動物，一位數學懷疑論者，對於他無法完全理解的想法，不輕易表露支持的態度，而他很快就推斷出他無法百分之百地理解大多數數學概念。縱然「陰鬱的克羅內克」以表達不支持著稱――不支持負數、

不支持實數、不支持集合――他對自然數表達的支持眾所周知，對於這些歷史悠久的思想和經驗客體表達了堅定的支持，這項支持發展成包括運用自然數以有限的一連串步驟得出的任何數學建構。表達無數不支持的克羅內克，與表達單一支持的克羅內克，兩者合為獨一人格：溫文、順從又自滿。克羅內克二十多歲時從商，在他舅舅位於東普魯士的房地產公司擔任主管。他在商業實務上極有天分，僅僅八年時間便成為富翁。之後他在柏林購置華宅，與舅舅的女兒普勞絲妮澤（Fanny Prausnitzer）結婚後，這座宅第成為文化和高尚生活的中心。龐大的財富使克羅內克對於歐洲頂尖數學家愛玩的大風吹遊戲絲毫不感興趣，一旦席位很少的教授職位有空缺，便有

一堆人搶著要。音樂一停，他們就粗莽地爭先恐後搶空位。無可避免地，大多數人失望告終。像是鼎鼎大名的數學家康托爾（Georg Cantor）為了柏林的教授職位空等多年，最後仍無法達成願望。克羅內克先生對於成為教授先生興趣缺缺。他不需要爭搶教授的位置，更不需為了生活搶取位置。他所沒有且真正想要的是在柏林大學講課。他的論文致力於數論、橢圓函數和代數的研究，極為突出，卻不具革命性。他在1861年獲選進入柏林科學院，因而得以在柏林大學講課。雖然他並未努力力爭上游，卻已成為頂尖人物。一旦躋身名家，克羅內克便決心糾纏那些他不認同的人。他對此樂此不疲。

補救教學管理與學習績效探討：以新竹市DY國小為例

為了解決整數 四則 運算 英文的問題，作者涂芳瑜 這樣論述：

對於學習低成就的學生，學校應該針對每位學生的不同學習特質，透過給予補救教學的措施，挽救其落後的學期課程，弭平學習的落差，期望達到同儕的學習水平，並能夠持續學習動機，完成該有的基本學力。有鑑於此，本論文一方面探討學習低成就學生對補救教學的學習成效以及接受度，另一方面則學校和老師對補救教學的認知與配合度。以文獻與案例做分析，憑藉參與觀察與深度訪談，探索不同職務背景的人對於補救教學的看法與建議，並以補救教學理論、策略管理理論、績效管理理論做為探討議題的依據。研究發現，學生因為課程落後與同儕氛圍的關係，進而影響他們對補救教學的學習意願。研究結論為，補救教學的學習策略與多重績效管理需要加以調整，才能提

昇學生的學習動機與學習狀況，此為影響補救教學成效是否成功的關鍵因素。研究建議為，學校可以實施鼓勵措施，讓繁忙教學工作中的導師或科任老師願意擔任補救教學的教師。對於擔任補救教學教師而言，應尊重每個孩子的不同特質，依據學生不同的程度設計課程。家長也應充分了解補救教學對孩子的幫助，能夠與老師做好配合進行補救。期許學校、老師、家長三方都能有良好的循環與執行方向，為學習低成就的孩子提供有效的幫助。